Nous étudierons ensuite un changement de variable qui marche dans tous les cas mais qui produit … 1 a − ϕ . + b {\displaystyle x+a=(a+b)\sin ^{2}\theta \qquad b-x=(a+b)\cos ^{2}\theta } d Linéarité de l'intégrale. u = x d {\displaystyle \int _{\alpha }^{\beta }f\left(x,\,{\sqrt {x+a}},\,{\sqrt {x+b}}\right)\,\mathrm {d} x\qquad a>b} a n + u x ⁡ x α tan ( ′ a . x ∫ 2 x θ x . − u Posons\( \omega(x) = F( \sin x, \cos x)\) dx l'élément différentiel à primitiver. Remarquer que l n’apparait pas au numérateur. a Posons \(\color{blue}t = \tan x\) d'où \(\color{blue}dt = (1 + \tan^2 x) dx = (1 + t^2) dx\) alors : \(I_{10}=\int\frac{dt}{(1+t^2)[1+\frac{t^2}{1+t^2}]}=\int\frac{dt}{1+2t^2}\), \(\color{red}I_{10}=\frac{1}{\sqrt 2}\arctan(\sqrt2\tan x)+C\), Formes \(I_n=\int\frac{dx}{\cos^nx}\) et \(J_n=\int\frac{dx}{\sin^nx}~~n\in\mathbb N^*\), 1er cas : \(n\) est pair poser \(\color{red}t = \tan x\), 2ème cas : \(n\) est impair poser \(\color{red}t = \tan (x / 2)\), Posons \(\color{blue}t = \tan x\color{black}\Leftrightarrow \color{blue}dt\color{black} = (1 + \tan^2 x) dx =\color{blue} dx / \cos^2 x\), d'où \(\color{red}I\color{black} = \int dt = t + C =\color{red} \tan x + C\), Posons \(\color{blue}t = \tan (x / 2)\color{black} ⇔ x = 2 \arctan t\) et \(\color{blue}dx = 2dt / (1 + t^2)\). − ) sinh x ) c Correction: On définit si ,.. Après multiplication du numérateur … t f f (ç (x)) (x) dx = f (u) du 2u2 C cos2x + 11 sm dc cos du … x 2 = ok alors on va à être calculé l'intégrale de zéro à 3 2 points sûrement f + x cube dx % et la cie on a recent intégral l'on trouve pas de le changement de variables plus égale quelque chose parce qu'on n'a pas on n'a pas une fonction du type du prime fois et de l'ue là ce qui est commode pour changement de variables avec plus traditionnels maintenant pour 100 euros on peut voir ce … {\displaystyle u={\sqrt {ax+b}}\Leftrightarrow x={\frac {u^{2}-b}{a}}\qquad \mathrm {d} x={\frac {2u}{a}}\,\mathrm {d} u}, Fiche mémoire sur un formulaire de changements de variables en calcul intégral, Si l'intégrale contient des fonctions trigonométriques, Si l'intégrale contient deux racines de polynômes du premier degré, Si l'intégrale contient une racine carrée d'un polynôme du premier degré, Intégrale contenant une racine carrée d'un polynôme du second degré, Changement de variable en calcul intégral, https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Changement_de_variable_en_calcul_intégral/Fiche/Formulaire&oldid=752551, licence Creative Commons Attribution-partage dans les mêmes conditions. d ) − x On remplace dans l'intégrale,on trouve: = intégrale de x*sin (x²)*cos (x²)*cos (x²)*dx. θ La méthode du changement de variable est très utile pour le calcul d'intégrale ou de primitive ; elle peut conduire à des erreurs si elle n'est pas appliquée avec soin. u . b {\displaystyle x={\frac {b-a}{2}}\cosh(2\theta )+{\frac {b-a}{2}}} f a Intégration par parties. = β . 2. f > cosh On a alors 7. f (In x)' dc = In -+ C. f cos (4x + 3) dc (sin(4x+3))' (sin (4x + 3))/ dc sin (4x + 3) 12 ( f x2dx 2+1 Exercice 1. ( Exercices. ) − 2 u a ⁡ d β − 2.1 Premier type; 2.2 Deuxième type; 2.3 Troisième type; 3 Intégrale contenant une … x Posons \(\omega(x)=\frac{\sin x}{1+\cos x}dx\)l'élément différentiel. a ) L'intégrale simple Choisissez un chapitre Grandeurs - Symboles - Dimensions Systèmes et unités de mesures Vecteurs Nombres complexes Fonctions logarithmes, exponentielles et puissances Trigonométrie circulaire - Trigonométrie hyperbolique Dérivées - Différentielles L'intégrale simple Équations différentielles du 1er ordre Équations différentielles du 2ème … Vous pouvez ainsi essayer de le deviner avant de consulter l’indication. x − 2 d , Ces exercices peuvent tout aussi intéresser des élèves d'autres filières, TSI, PCSI, PTSI, MPSI, … Ces exercices ne sont pas forcément originaux, ce n'est pas d'ailleurs pas le but d'un sujet de colle, mais les corrections le sont. 2 a {\displaystyle x={\frac {a-b}{2}}\cosh(2\theta )-{\frac {a+b}{2}}} Nous étudierons d’abord trois cas particuliers auxquels sont appropriés trois changements de variable, déterminés par ce que l’on appelle les règles de Bioche. α . θ 0 a − β Question 1 Primitives de . , 2 Linéarité de l'intégrale. x + + = α ( où a, b et c sont réels. u On peut retenir que le changement de variable u=ex permet de se ramener au calcul de primitives d’une fonction rationnelle. Changement de variable - partie 4 (11:23) Exercices - leçons 11 à 15 ... Intégration de fonctions trigonométriques - partie 1 (9:14) 25. 1 a b cosh x Guide b f x ) Aujourd’hui, je vais vous expliquer comment faire un changement de variable avec une intégrale, à travers un exercice. u . ( Intégration de fonctions trigonométriques - partie 3 (9:22) 27. x d On peut aussi se compliquer la vie inutilement si on l'applique de travers. b Primitives de fonctions composées. [ 4. Primitives de polynômes trigonométriques. ) ( 2 Calculer les intégrales suiuantes. ⁡ Les méthodes d'intégration sont celles employées dans la recherche des primitives avec changement de bornes lors d'un changement de variable. Rappelons tout d’abord la formule du changement de variable en calcul intégral : ∫ x u 2 Changement de variables Objectifs La méthode du changement de variable est très utile pour le calcul d'intégrale ou de primitive ; elle peut conduire à des erreurs si elle n'est pas appliquée avec soin. 2 \(\Leftrightarrow\color{red}x=2\arctan t~~dx=\frac{2dt}{1+t^2}\), sachant que \(\sin x=\frac{2t}{1+t^2}\); \(\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}\);\(\tan x=\frac{2t}{1-t^2}\). ( , x , 2 . Primitivation des fonctions polynômes en \(\sin x,\) \(\cos x.\), Forme :\( I = \int P(\sin x, \cos x) dx = \int \sin ^px \cos ^q x dx~~ (p, q \in\mathbb N)\), si \(p\) est impair, on peut poser \(\color{red}u = \cos x\), si \(q\) est impair, on peut poser \(\color{red}u = \sin x\), si \(p\) et \(q\) sont impairs, on peut poser \(\color{red}u = \sin x\) ou \(\color{red}u = \cos x\) ou \(\color{red}u = \cos 2x\). + Primitives de polynômes trigonométriques « Précédent | … ( Chapitre 3 : Changement de variable – Cas … sinh 2 α si \(p\) et \(q\) sont pairs, on pourra linéariser, puis primitiver. 2 ( 1.1 Règles de Bioche; 1.2 Cas général; 2 Si l'intégrale contient deux racines de polynômes du premier degré. tan t ( Leçon : Changement de variable trigonométrique dans une intégrale Mathématiques Dans cette leçon, nous allons apprendre comment évaluer des intégrales en utilisant un changement de variables trigonométriques. + α cosh − + x x 3. − Ceci car et et . ( 2 − 2 b d Bonjour, je buche depuis un moment sur un exercice et j'avoue ne pas réussir à le résoudre.. Je vous montre l'énoncé : près avoir transformé l'intégrale par un changement de variable bien choisi, montrer que l'intégrale généralisée est convergente pour a > 1. \(\boxed{I_{11}=\int_0^1\frac{dx}{(1+x^2)^2}}\), Posons \(\color{blue}x = \tan t\) d'où \(\color{blue}t = \arctan x\). ⇔ β {\displaystyle u=\tan {\frac {x}{2}}} Intégration par parties. Retrouvez des milliers d'autres cours et exercices interactifs 100% gratuits sur http://fr.khanacademy.org Vidéo sous licence CC-BY-SA. Le changement de variable doit être évident mais venant d'une filière ECO et ayant fais en parallèle une prépa … α a ϕ u = = ⁡ . b ∫ θ 6. 2 1 θ Cette méthode est à privilégier car elle simplifie "bien souvent" les calculs. Six exercices sur le thème "intégration (sur un segment) et changement de variable". , + x d Nous obtenons \(\color{red}I=\int F(\sin x,\cos x)dx=\int F(\frac{2t}{1+t^2},\frac{1-t^2}{1+t^2})\frac2{1+t^2}dt\)qui est une fraction rationnelle en \(t\) (dont la primitivation demande souvent de longs calculs). cosh sin Formule de changement de variable: Intégrale trigonométrique de la forme: 3. u b b On obtient alors un simple polynôme en u à intégrer : CAS N°2 : Si n est impair et m est pair on pose n=2.n'+1 et on effectue le changement de variable u=cos(x). ) α x Exemple : \(\boxed{I_{11}=\int_0^1\frac{dx}{(1+x^2)^2}}\) si \(\color{red}\omega(-x) = \omega(x)\) alors \(\int F(\sin x, \cos x) dx\) se calcule par le changement de variable \(\color{red} t = \cos x\), si \(\color{red}\omega(\pi - x) = \omega(x)\) alors \(\int F(\sin x, \cos x) dx\) se calcule par le changement de variable \(\color{red}t = \sin x\), si \(\color{red}\omega(\pi + x) = \omega(x)\) alors \(\int F(\sin x, \cos x) dx\) se calcule par le changement de variable \(\color{red}t = \tan x\). Intégration de fractions rationnelles . 2 − Publié le 21 avril 2017 7 mai 2017. a {\displaystyle u=\tan x} f(x) polynôme ou fraction trigonométrique. c b = b + Exercice/Conseils : Questions : N’hésite pas à utiliser la barre de commentaires pour poser tes questions ou réagir. x 2 d + Ces identités peuvent être utiles quand une expression comportant des fonctions trigonométriques a besoin (Les besoins se situent au niveau de l'interaction entre l'individu et … ⁡ Primitives de fonctions composées. u x x x2dæ, e dc cos (4x 3) clx . {\displaystyle u={\sqrt[{n}]{\frac {ax+b}{cx+d}}}\Leftrightarrow x={\frac {b-du^{n}}{cu^{n}-a}}\qquad \mathrm {d} x={\frac {c(b-d)u^{2n-1}+(ad-bc)u^{n-1}}{\left(cu^{n}-a\right)^{2}}}\,\mathrm {d} u} a ) β − x b ) ⁡ d cos a , + ( b 5. x ( + a sin = x \(\boxed{I_1 = \int \sin^3x \cos^2x dx}\), \(I_1 = \int \sin^2x \cos^2x \sin x dx = \int (1 - \cos^2x) \cos^2x \sin x dx\), Posons \(u = \cos x \Leftrightarrow du = - \sin x dx\), d'où \(I_1=-\int(1-u^2)u^2du=-\int(u^2-u^4)du=-\frac{u^3}{3}+\frac{u^5}{5}+C\), \(\color{red}I_1=-\frac13\cos^3x+\frac15\cos^5x+C\), \(\boxed{I_2 = \int \sin^2x \cos^3x dx}\), \(I_2 = \int \sin^2x \cos^2x \cos x dx = \int \sin ^2x (1 -\sin ^2x) \cos x dx\), Posons \(u = \sin x \Leftrightarrow du = \cos x dx\), d'où \(I_2=\int u^2(1-u^2)du=\int(u^2-u^4)du=\frac{u^3}{3}-\frac{u^5}{5}+C\), \(\color{red}I_2=\frac13\sin^3x-\frac15\sin^5x+C\), \(I_3=\int\sin^2x\sin x\cos xdx=\int(\frac{1-\cos2x}{2})\frac12\sin2xdx\), Posons \(u = \cos 2x \Leftrightarrow du = -2 \sin 2x dx\), \(I_3=-\frac18\int(1-u)du=-\frac18(u-\frac{u^2}2)+C\), \(\color{red}I_3=-\frac18(\cos^22x-\frac12\cos^2x)+C\), \(\boxed{I_4 = \int \sin^2x \cos^2x dx}\), \(I_4=\int\sin^2x\cos^2xdx=\frac14\int\sin^22xdx=\frac14\int\frac{1-\cos4x}2dx\), d'où : \(\color{red}I_4\color{black}=\frac18x-\frac{1}{32}\sin4x+C\), Forme : \(I = \int \sin px \cos qx dx~;~ J = \int \sin px \sin qx dx~ ~; K = \int \cos px \cos qx dx ~~(p, q \in\mathbb R)\). = Primitives de polynômes trigonométriques. , + ( b . La dernière modification de cette page a été faite le 2 février 2019 à 10:41. 4 (changement de variables u= et arctanx+arctan = 2) Indication pourl’exercice9 N Rp 2 0 1 1+sinx dx =1 (changement de variables t =tan x 2). d 1 {\displaystyle \int _{\alpha }^{\beta }f(x)\,\mathrm {d} x} Même exercice, il s’agit de calculer l’intégrale suivante : avec le changement de variable : On rappelle la dérivée de argsinh : Exercice 3 : calcul de primitive Il s’agit cette fois-ci de calculer la primitive de la fonction suivante à l’aide d’un changement de variable : Le changement de variable n’est pas donné, il faut le trouver tout seul^^ Méthode Maths. On obtient alors un simple polynôme en u à intégrer : . ϕ Une identité trigonométrique est une relation impliquant des fonctions trigonométriques et qui est vérifiée pour toutes les valeurs des variables intervenant dans la relation. + Primitives usuelles. a ) f d cos b 2 1 ∫ ⇔ cos β a + {\displaystyle \int _{\alpha }^{\beta }f\left(x,\,{\sqrt {a-x}},\,{\sqrt {b-x}}\right)dx\qquad a>b} ⁡ 1 Si l'intégrale contient des fonctions trigonométriques. ) ( . x ) b x Le concept d’angle et de rayon était déjà utilisé lors du I er millénaire av. f − u Les méthodes d'intégration sont celles employées dans la recherche des primitives avec changement de bornes lors d'un changement de variable. u a 2 Si rien n’est changé quand on remplace « » par « » on prend pour variable « » ; d Exercices. ) . Le second membre ne pose pas de problème puisqu'il s'intègre au moyen de logarithmes ou de fonctions trigonométriques. Intégration de fractions rationnelles . − 1 Alors d'après la règle de Bioche, le changement de variable le plus approprié est . x 2 a {\displaystyle \int _{\alpha }^{\beta }f\left(x,\,{\sqrt[{n}]{\frac {ax+b}{cx+d}}}\right)\,\mathrm {d} x}. x 2 Elles servent beaucoup en intégration, pour intégrer des fonctions « non trigonométriques » : un procédé habituel consiste à effectuer un changement de variable en utilisant une fonction trigonométrique, et à simplifier ensuite l'intégrale obtenue avec les identités trigonométriques. = d = 3eme cas : Si l’expression f(x)dx reste invariante lorsqu’on remplace x par x + π, on pose : u et \(\color{blue}dt = dx / (1 + x^2)\) avec les changements de bornes : \(\color{red}I_{11}\color{black}=\int_0^{\pi/4}\frac{(1+\tan^2t)dt}{(1+\tan^2t)^2}=\int_0^{\pi/4}\frac{dt}{(1+\tan^2t)}\\\int_0^{\pi/4}\cos^2tdt=\int_0^{\pi/4}\frac{1+\cos2t}{2}dt\\=[\frac t2+\frac{\sin 2t}{4}]_0^{\pi/4}=\frac{\pi}8+\frac14=\color{red}\frac{\pi+2}{8}\), Intégration des fonctions trigonométriques, \( I = \int P(\sin x, \cos x) dx = \int \sin ^px \cos ^q x dx~~ (p, q \in\mathbb N)\), \(u = \cos x \Leftrightarrow du = - \sin x dx\), \(I_1=-\int(1-u^2)u^2du=-\int(u^2-u^4)du=-\frac{u^3}{3}+\frac{u^5}{5}+C\), \(u = \sin x \Leftrightarrow du = \cos x dx\), \(I_2=\int u^2(1-u^2)du=\int(u^2-u^4)du=\frac{u^3}{3}-\frac{u^5}{5}+C\), \(u = \cos 2x \Leftrightarrow du = -2 \sin 2x dx\), \(\color{red}I_4\color{black}=\frac18x-\frac{1}{32}\sin4x+C\), \(I = \int \sin px \cos qx dx~;~ J = \int \sin px \sin qx dx~ ~; K = \int \cos px \cos qx dx ~~(p, q \in\mathbb R)\), \(I_5=\frac12\int(\sin5x-\sin x)dx=\color{red}-\frac1{10}\cos5x+\frac12\cos x+C\), \(I_6=\frac12\int(\cos x-\cos5 x)dx=\color{red}\frac12\sin x-\frac1{10}\sin5 x+C\), \(I_7=\frac12\int(\cos7x+\cos x)dx=\color{red}\frac12\sin x+\frac1{14}\sin7x+C\), \(\Leftrightarrow\color{red}x=2\arctan t~~dx=\frac{2dt}{1+t^2}\), \(\color{red}I=\int F(\sin x,\cos x)dx=\int F(\frac{2t}{1+t^2},\frac{1-t^2}{1+t^2})\frac2{1+t^2}dt\), \(\color{red}I_8=\ln(1+\tan^2\frac{x}{2})+C_1\), \(\color{red}\omega(\pi - x) = \omega(x)\), \(\color{red}\omega(\pi + x) = \omega(x)\), \(\omega(-x)=\frac{\sin(-x)d(-x)}{1+\cos(-x)}=\frac{\sin xdx}{1+\cos x}=\omega(x)\), \(\omega(x)=\frac{\sin x\cos x}{\sin x + 1}dx\), \(\color{red}I_9 = \sin x - \ln (1 + \sin x) + C\), \(\color{blue}dt = (1 + \tan^2 x) dx = (1 + t^2) dx\), \(J_n=\int\frac{dx}{\sin^nx}~~n\in\mathbb N^*\), \(\color{blue}t = \tan x\color{black}\Leftrightarrow \color{blue}dt\color{black} = (1 + \tan^2 x) dx =\color{blue} dx / \cos^2 x\), \(\color{red}I\color{black} = \int dt = t + C =\color{red} \tan x + C\), \(\color{blue}t = \tan (x / 2)\color{black} ⇔ x = 2 \arctan t\), \(K_n = \int \tan ^nx dx ,~~ n \in\mathbb Z^*\), \(\color{blue}t = \sin x \color{black}\Leftrightarrow \color{blue}dt = \cos x dx\), Intégration des fonctions comprenant des radicaux. dans les autres cas, le changement de variable u(t) = tan(t/2) s'avère souvent judicieux (voir « Formules trigonométriques impliquant la tangente de l'arc moitié »). ⁡ d d x ∫ + n {\displaystyle \int _{\alpha }^{\beta }f\left(x,\,{\sqrt {ax+b}}\right)\,\mathrm {d} x} {\displaystyle x+a=(a-b)\cosh ^{2}\theta \qquad x+b=(a-b)\sinh ^{2}\theta } 2 x ⁡ n ) t c u 2 a + Une identité trigonométrique est une relation impliquant des fonctions trigonométriques et qui est vérifiée pour toutes les valeurs des variables intervenant dans la relation. f changement de variable, intégrale impropre, primitive, Les informations recueillies sur ce site sont enregistrées dans un fichier informatisé par moi-même pour la gestion des clients, la prospection, les opérations de fidélisation, l’élaboration de statistiques commerciales, l’organisation d’opérations promotionnelles, la gestion des demandes de droit d’accès, de … + n − d d ⁡ ⁡ 2eme cas : Si l’expression f(x)dx reste invariante lorsqu’on remplace x par π – x, on pose : u ) = b x x > Plusieurs changements de variables sont envisageables selon la fonction rationnelle trigonométrique. Changement de variables. ) {\displaystyle x={\frac {b-a}{2}}-{\frac {b+a}{2}}\cos(2\theta )} = − c = b a sin Ces identités peuvent être utiles quand une expression comportant des fonctions trigonométriques a besoin d'être simplifiée. Indication pourl’exercice10 N 1.Faire une intégration par parties afin d’exprimer I n+2 en fonction de I n. Pour le calcul explicite on α = Posons \(\color{blue}t = \sin x\) d'où \(\color{blue}dt = \cos x dx\) alors : \(I_9=\int \frac t{t+1}dt=\int\frac{t+1-1}{t+1}dt\\=\int dt-\int\frac{dt}{t+1}\\=t-\ln|t+1|+C\), d'où \(\color{red}I_9 = \sin x - \ln (1 + \sin x) + C\), \(\boxed{I_{10}=\int\frac{dx}{1+\sin^2x}}\), Posons \(\omega(x)=\frac{dx}{1+\sin^2x}\)l'élément différentiel, \(\omega(\pi+x)=\frac{d(\pi+x)}{1+\sin^2(\pi+x)}\\=\frac{dx}{1+(-\sin x)^2}=\omega(x)\). {\displaystyle u=\sin x} b θ ] ( Comme\(\omega(-x)=\frac{\sin(-x)d(-x)}{1+\cos(-x)}=\frac{\sin xdx}{1+\cos x}=\omega(x)\). f , 2 = Changement de variable. a > ( 2 Intégration par fractions partielles - partie 1 (9:35) 28. ⁡ Sachant que \(\sin x = 2t / (1 + t^2),\) nous obtenons : \(\color{red}J\color{black}=\int\frac{2dt}{(1+t^2)\frac{2t}{1+t^2}}=\int\frac{dt}{t}\\=\ln|t|+C=\color{red}\ln|\tan\frac{x}{2}|+C\), Forme \(K_n = \int \tan ^nx dx ,~~ n \in\mathbb Z^*\), 1er cas : \(n\) est pair poser \(\color{red}t = \tan x\) ( si \(n\) est positif, ajouter et retrancher \(1\) pour faire apparaître la différentielle de \(\tan x)\), 2ème cas : \(n\) est impair poser \(\color{red}t = \sin x\) ou \(\color{red}t = \cos x\) ou \(\color{red}t = \tan x\), (on préférera \(t = \cos x\) si \(n >0,\) et \(t = \sin x\) si \(n<0)\), \(K = \int (\tan^2 x + 1 - 1) dx\\= \int (\tan^2 x + 1) dx - \int dx\), Posons \(\color{blue}t = \sin x \color{black}\Leftrightarrow \color{blue}dt = \cos x dx\), \(\color{red}L\color{black}=\int\frac1{\tan x}dx=\int\frac{\cos x}{\sin x}dx\\=\frac{dt}{t}=\color{red}\ln|t|+C\), Intégration des fonctions polynômes et des fractions rationnelles en \(\sin x,\) \(\cos x.\). Introduction. ∫ c − tan Rp 2 0 sinx 1+sinx dx = p 2 1 (utiliser la précédente). {\displaystyle \int _{\alpha }^{\beta }f\left[\phi (t)\right]\,\phi '(t)\,\mathrm {d} t=\int _{\phi (\alpha )}^{\phi (\beta )}f(x)\,\mathrm {d} x} ( a = {\displaystyle \int _{\alpha }^{\beta }f\left(x,\,{\sqrt {x+a}},\,{\sqrt {b-x}}\right)\,\mathrm {d} x\qquad a+b>0} a ) . b d Exemples d'intégration par changement de variable Author: Marcel Délèze Subject: Calcul intégral, intégration par changement de variable, exemples Keywords: calcul intégral, intégration, exemple, changement de variables, substitution Created Date: 7/11/2018 9:23:46 A… x x = 2 ( {\displaystyle a-x=(a-b)\cosh ^{2}\theta \qquad b-x=(a-b)\sinh ^{2}\theta } . x + f Posons \(\color{blue}t = \cos x\) d'où \(\color{blue}dt = - \sin x dx\) alors : \(\boxed{I_9=\int\frac{\sin x\cos x}{\sin x + 1}dx~~(x\neq\frac{3\pi}{2}+k\pi)~~k\in \mathbb Z}\), Posons \(\omega(x)=\frac{\sin x\cos x}{\sin x + 1}dx\)l'élément différentiel, \(\omega(\pi-x)=\frac{\sin (\pi-x)\cos (\pi-x)d(\pi-x)}{\sin(\pi- x) + 1}\), \(=\frac{\sin x(-\cos x)d(-x)}{\sin x+1}=\omega(x)\). = On effectue un premier changement de variable afin de supprimer le x du numérateur: L'intégrale I devient : Ce qui nous donne une nouvelle expression pour I sans le terme x au numérateur : En appliquant la règle de Bioche on effectue un second changement de variable afin d'obtenir une fraction rationnelle en t: Et on en déduit la valeur de I : c n cos = b − a x ) b a ⁡
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